Zadanie z III etapu XXIV Olimpiady
Astronomicznej

Mając do dyspozycji stoper i odpowiednio przygotowane do obserwacji refraktory znajdź metodę oraz zaplanuj i przeprowadź obserwacje pozwalające wyznaczyć nieznane współrzędne α_x, δ_x obiektu G_X.

Rysunki przedstawiają pale widzenia refraktorów przygotowanych do obserwacji. W sytuacji przedstawionej na rysunku pierwszym widoczna w polu widzenia nitka jest równoległa do kierunku wyznaczonego przez gwiazdy oporowe G₁ i G₂, natomiast w sytuacji przedstawionej na rysunku drugim nitka jest równoległa do kierunku wyznaczonego przez gwiazdę G₂ i obiekt G_X. Strzałki wskazują kierunek ruchu dziennego gwiazd w polu widzenia nieruchowego refraktora.

Współrzędne gwiazd oporowych wynoszą odpowiednio:

α₁ = 4^h35^m17.^s7          δ₁ = 15°56'05''
α₂ = 4^h36^m17.^s8          δ₂ = 15°42'09''

Rozwiązanie:

Podczas zawodów finałowych XXIV Olimpiady Astronomicznej warunki meteorologiczne były na tyle sprzyjające, że pozwoliły w całości przeprowadzić zadanie o charakterze eksperymentalnym. Wymagało ono od uczestników twórczego podejścia do problemu, tzn. samodzielnego znalezienia metody obserwacyjnej, teoretycznego jej opracowania i wreszcie praktycznego zastosowania przy wyznaczaniu nieznanych współrzędnych obiektu G_X. Na opracowanie części teoretycznej oraz przygotowanie do obserwacji przeznaczono około godziny (zegarowej) czasu. Następnie uczestnik przechodził do obserwatorium astronomicznego w celu przeprowadzenia obserwacji, po czym pozostawało jeszcze co najmniej pół godziny na wykonanie rachunków i opracowanie wyników.

Za pomocą pomiarów czasowych łatwo można określić różnicę rektascensji punktów na sferze niebieskiej na podstawie przejść przez nitkę ustawioną prostopadle do kierunku ruchu dziennego sfery niebieskiej. Wyznaczenie na podstawie pomiarów czasowych różnicy deklinacji stanowi już istotną trudność i właśnie problem ten postawiono przed finalistami. Wprawdzie treść zadania naprowadza na ideę metody rozwiązania problemu, jednak nie podaje przepisu pozwalającego osiągnąć zamierzony cel.

Z treści zadania wynika, że podczas obserwacji pierwszym refraktorem przez nitkę przejdą równocześnie gwiazdy G₁ i G₂, a po pewnym czasie obiekt G_X. Za pomocą stopera można więc zmierzyć odstęp czasu Δt₂ między tymi przejściami. Analogicznie podczas obserwacji prowadzonej drugim refraktorem można zmierzyć odstęp czasu Δt₂ między przejściem przez nitkę gwiazdy G₁ a równoczesnym przejściem gwiazdy G₂ i obiektu G_X.

Tak zmierzone interwały czasu nie są różnicami rektascensji rozważanych ciał niebieskich, ponieważ nitki nie są prostopadłe do kierunku obrotu sfery niebieskiej, a więc nie pokrywają się z kołami godzinnymi. Jaka w związku z tym jest ich interpretacja?

Aby odpowiedzieć na to pytanie wprowadźmy lokalny, prostokątny układ współrzędnych. Możemy tak uczynić, ponieważ rozpatrujemy niewielkie odległości kątowe na sferze niebieskiej w pobliżu równika. Zupełnie analogicznie — bez popełnienia większego błędu — postępujemy przy sporządzaniu geograficznych map niewielkich obszarów powierzchniowych Ziemi.

Interwały czasu Δt₁ i Δt₂ są związane z ruchem obrotowym Ziemi i odpowiadają za przesunięcie punktów wzdłuż równoleżników niebieskich w kierunku malejących rektascensji. Aby być zupełnie dokładnym, w rozważaniach teoretycznych należy interwały czasu średniego słonecznego, bo taki czas wskazują stopery, zamienić na czas gwiazdowy. Można to uzyskać przez pomnożenie Δt przez czynnik k = 366,25 : 365,25 = 1,0027. Jednak w rozpatrywanym problemie nie ma to praktycznego znaczenia, ponieważ błędy pomiarów są znacznie większe.

Rysunki 3 i 4 odpowiadają obrazom widzianym przez refraktory, a więc obróconym w stosunku do rzeczywistych o kąt 180°. Strzałki wskazują kierunek ruchu sfery niebieskiej.

Z pierwszej obserwacji (rys. 3) wynika, że punkt G_X należy do prostej M przechodzącej przez punkty G₃ i G₄, przy czym współrzędne punktów wynoszą: G₃ (α₁ + kΔt₁; δ₁), G₄ (α₂ + kΔt₁; δ₂); natomiast z drugiej obserwacji (rys. 4) wynika, że punkt G_X należy do prostej N wyznaczonej przez punkty G₂ (α₂, δ₂) i G₅ (α₁ + kΔt₂, δ₁).

Punkt G_X (α_x; δ_x) musi więc spełniać równanie obu prostych M i N. Jego współrzędne można wyznaczyć np. metodą graficzną lub w oparciu o wiadomości z geometrii analitycznej rozwiązując układ równań liniowych:1

Stąd, po rozwiązaniu tego układu równań, otrzymujemy interesujące nas zależności:

(1)

(2)

Aby wyznaczyć współrzędne punktu G_X (α_x; δ_x) należy więc zmierzyć za pomocą nieruchomego refraktora dwa interwały czasu Δt₁ i Δt₂ wykorzystując ruch dzienny sfery niebieskiej oraz znać współrzędne gwiazd oporowych G₁ i G₂.

Istnieje wiele innych możliwości wyprowadzenia wzorów (1) i (2) w oparciu o rozważania geometryczne. Wprowadzając np. podobny układ współrzędnych jak w poprzednim rozwiązaniu i rozpatrując obie obserwacje jednocześnie otrzymamy sytuację przedstawioną na rys. 5.

Z trójkątów podobnych AG_XG₂ i G₁CG₂ otrzymamy zależność:

(3)

a z niej bezpośrednio wynika wzór (2). Natomiast z prostokątnych trójkątów podobnych G₂BG_X i G₂DC mamy:

Stąd po uwzględnieniu zależności (3) i prostych przekształceniach:

(4)

We wzorze tym jedyną niewiadomą jest α₀, ale:

(5)

Uwzględniając związek (5) w równaniu (4) otrzymamy po dalszych prostych przekształceniach:

czyli wynik identyczny jak w poprzednim rozwiązaniu.

Wśród opracowań wykonanych przez finalistów poprawne rozwiązania stanowiły 33%. W części teoretycznej, będącej przygotowaniem do samodzielnej obserwacji, istotną trudność stanowiło matematyczne, w miarę proste postawienie problemu. Natomiast część obserwacyjna, jeśli tylko przygotowany był poprawny program obserwacji, nie przedstawiała trudności.

W najlepszych pracach dokładność uzyskanych rezultatów końcowych — rzędu 0.s5 w refetascensji i 10'' w deklinacji — była więcej niż zadowalająca, zważywszy fakt, iż prace prowadzone były w stresie, a z przyczyn organizacyjnych czas przeznaczony na danym stanowisku wynosił zaledwie 5 minut. Jednak i w takiej sytuacji niektórym finalistom udało się przeprowadzić nawet i po trzy obserwacje, co świadczy o sporej praktyce obserwacyjnej.

Również z przyczyn czysto organizacyjnych do przeprowadzenia obserwacji użyto dwóch refraktorów choć wystarczyłby jeden, ale z możliwością obrotu okularu względem osi optycznej refraktora, co wpływałoby na zmianę położenia nitki względem kół godzinnych.

Przedstawiona w zadaniu oryginalna metoda może być wykorzystywana w praktyce obserwacyjnej, gdyż bez pomocy mikrometru można w oparciu o pomiary czasowe wyznaczać współrzędne różnych obiektów na sferze niebieskiej. W tym celu należy tylko okular wyposażyć w cienką nitkę przymocowaną do diafragmy.