Urania-Postępy Astronomii
Wykłady z astrofizyki   
Urania-Postępy Astronomii Urania-Postępy Astronomii


Spis
treści
Spis
wykładów

Budowa i Ewolucja
Gwiazd
prof. Bohdan Paczyński
ver. 1.00


VII. Jonizacja, równanie Sahy.
    Niech energie dwóch stanów, A i B, wynoszą EA i EB, natomiast ich wagi statystyczne odpowiednio gA i gB. W warunkach LTE (lokalnej równowagi termodynamicznej), ilość cząstek w tych dwóch stanach, NA i NB, spełnia równanie Boltzmana:
NA
NB
  = 
gA
gB
  exp[- (EA - EB) ⁄ kT] .
(i.1)
    Następnie rozważmy dwa jony, „i” oraz „i + 1”, tego samego pierwiastka. Potencjał jonizacyjny, tj. energia niezbędna do jonizacji „i” ze stanu podstawowego wynosi χ, a wagi statystyczne stanów podstawowych obu jonów, odpowiednio gi i gi + 1. Ilościowe gęstości, [cm-3], obu typów jonów oraz swobodnych elektronów, wynoszą odpowiednio ni, ni + 1 i ne. Użyjemy równania Boltzmana (i.1) do oszacowania stosunku ilości ni + 1 ⁄ ni. Waga statystyczna jonu w niższym stanie jonizacji, użyta w równaniu (i.1), wynosi po prostu gi. Waga statystyczna jonu w wyższym stanie jonizacji, to gi + 1 pomnożone przez ilość możliwych stanów, w których można umieścić swobodne elektrony. Jak wiemy, w każdej komórce przestrzeni fazowej o objętości h3, są dwa możliwe stany dla elektronu, ponieważ istnieją dwie możliwe orientacje jego spinu. h = 6.63 × 10-27 erg s jest stałą Plancka. Energia swobodnego elektronu o momencie pędu p w odniesieniu do stanu podstawowego jonu w niższym stopniu jonizacji, wynosi E = χ + p2 ⁄ 2m. Ilość komórek osiągalnych dla swobodnych elektronów, o momentach pędu w zakresie p i p + dp, wynosi Ve4π p2dp ⁄ h3, gdzie Ve = 1 ⁄ ne jest objętością w zwykłej przestrzeni dostępnej dla elektronu, natomiast ne jest ilościową gęstością swobodnych elektronów. Teraz, dokonamy całkowania po wszystkich dostępnych komórkach, biorąc po uwagę czynnik Boltzmana
ni + 1
ni
  = 
gi + 1
gi
  
Ve2
h3
∞
∫
0
 e- (χ + p2 ⁄ 2m) ⁄ kT 4π p2dp =
(i.2)
gi + 1
gi
  
1
ne
  
2
h3
  (2mkT)3/2 e- χ ⁄ kT 2π
∞
∫
0
 e-x x1/2dx =
gi + 1
gi
  
1
ne
  
2
h3
  (2π mkT)3/2 e- χ ⁄ kT ,
gdzie podstawiliśmy x = p2 ⁄ 2mkT, a wartość ostatniej całki wynosiła π1/2 ⁄ 2.

    Ostatnie równanie jest zazwyczaj zapisywane jako równanie Sahy
ni + 1ne
ni
  = 
(2π mkT)1.5
h3
  
2gi + 1
gi
  e-χ ⁄ kT .
(i.3)
    Wygodnie jest wyrazić energię jonizacji w elektronowoltach, 1 eV = 1.602 × 10-12 erg. Jonizacja najobfitszych pierwiastków, wodoru i helu, jest istotna dla równania stanu. Dla tych pierwiastków mamy:
jonizacja wodoru:   χ = 13.54 eV ,       2gi + 1 ⁄ gi = 1 ,
pierwsza jonizacja helu:   χ = 24.48 eV ,       2gi + 1 ⁄ gi = 4 ,
druga jonizacja helu:   χ = 54.17 eV ,       2gi + 1 ⁄ gi = 1 .
    Rozważmy obecnie czysty, częściowo zjonizowany wodór. Niech H, nH I i nH II będą ilościowymi gęstościami odpowiednio całego wodoru, wszystkich atomów neutralnego wodoru i wszystkich jonów wodoru. Mamy nH = nH I + nH II, ne = nH II, a x ≡ nH II ⁄ nH jest stopniem jonizacji. Gęstość gazu to ρ = HnH, gdzie H jest masą atomu wodoru. Możemy zapisać równanie Sahy, jako
nH IIne
nH I
  = 
ρ
H
  
x2
1 - x
  = 
(2π mkT)1.5
h3
  
2gi + 1
gi
  e-χ ⁄ kT .
(i.4)
Stałe, wyrażone w jednostkach CGS, to: H = 1.673 × 10-24, m = 9.11 × 10-28, k = 1.381 × 10-16, h = 6.63 × 10-27. Z tymi stałymi, mamy
log ρ + log 
x2
1 - x
  =
(i.5)
= 1.5log T - 
5040
T
  χ + log [ H(2π mk)1.5 h-3 ]  = 1.5log T - 
68240
T
  - 8.394 .
    Ciśnienie częściowo zjonizowanego gazu wodorowego, to po prostu
Pg = (nH + ne) kT = (1 + x) 
k
H
  ρT .
(i.6)
Energia wewnętrzna powinna obecnie zawierać nie tylko energię kinetyczną, lecz również jonizacji:
Ug = 1.5(nH + ne) kT + neχ = 1.5P + x 
χ
H
  ρ .
(i.7)
    W równaniach tych, stopień jonizacji powinien być traktowany jako funkcja gęstości i temperatury, x(ρ, T). Różniczkując równanie (i.4), otrzymamy
(
∂x
∂ ln T
 )ρ  = 
x(1 - x)
(2 - x)
   ( 1.5 + 
χ
kT
 ) ,
(i.8a)
(
∂x
∂ ln ρ
 )T  = - 
x(1 - x)
(2 - x)
 ,
(i.8b)
Jako przykład własności termodynamicznych częściowo zjonizowanego wodoru, policzymy ciepło właściwe gazu wodorowego w stałej objętości:
cV, g ≡  [
∂(Ug ⁄ ρ)
∂T
 ]ρ  = 
1.5
ρ
  (
∂Pg
∂T
 )ρ  + 
χ
H
  (
∂x
∂T
 )ρ  =
(i.9a)
= 
k
H
  [ 1.5(1 + x) + (1.5 + χ ⁄ kT)2 
x(1 - x)
(2 - x)
 ] .
Gdy wodór jest zjonizowany w 50%, czyli x = 0.5, wówczas
cV, g= 
k
H
  [ 2.25 + 
1
6
  (1.5 + χ ⁄ kT)2 ] .
(i.9b)
Typowo, mamy χ ⁄ kT >> 1 i dlatego też ciepło właściwe dla częściowo zjonizowanego gazu jest dużo wyższe, aniżeli dla neutralnego, czy też w pełni zjonizowanego.

    Rozważmy następnie mieszaninę częściowo zjonizowanego wodoru z promieniowaniem. Równanie stanu, to
Pg= (1 + x) 
k
H
  ρT ,       Pr= 
a
3
  T4 ,       P = Pg + Pr ,       β = Pg ⁄ P ,
(i.10a)
P = (1 + x) 
k
H
  ρT + 
a
3
  T4 ,
(i.10b)
U = 1.5(1 + x) 
k
H
  ρT + aT4 + x 
χ
H
  ρ ,
(i.10c)
Równania w postaci różniczkowej, to:
d ln P = (4 - β)d ln T + βd ln ρ + 
β
1 + x
  dx       (równanie stanu) ,
(i.11a)
dU
P
  = (12 - 10.5β)d ln T + (
3
2
  + 
χ
kT
 ) βd ln ρ +  (
3
2
  + 
χ
kT
 )
β
1 + x
 dx ,
(i.11b)
(2 - x)
x(1 - x)
  dx =  (
3
2
  + 
χ
kT
 ) d ln T - d ln ρ       (równanie Sahy) .
(i.11c)
    Z równania Sahy uzyskujemy równania (i.8a) oraz (i.8b). Te mogą być połączone z równaniami (i.11a) oraz (i.11b), by otrzymać
(
∂ln P
∂ln T
 )ρ = 4 - 3β + 
β
(1 + x)
  (
∂x
∂ln T
 )ρ ,
(i.12a)
(
∂ln P
∂ln ρ
 )T = β + 
β
(1 + x)
  (
∂x
∂ln ρ
 )T ,
(i.12b)
T
P
  (
∂U
∂T
 )ρ = 12 - 10.5β + 
β
(1 + x)
  ( 1.5 + 
χ
kT
 )  (
∂x
∂ ln T
 )ρ .
(i.12c)
    Mamy teraz wszystkie pochodne niezbędne do policzenia zależności adiabatycznych: γ, nablaad oraz (∂ ln T ⁄ ∂ ln ρ)S, jak również ciepeł właściwych, cV i cP, dla mieszaniny częściowo zjonizowanego wodoru i promieniowania.



Autor: prof. Bohdan Paczyński

Tłumaczenie, opr. i wersja HTML:
Marek Gołębiewski



© "Urania-Postępy Astronomii"
webmaster: Marek Gołębiewski